Question

15．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2$\sqrt{5}$，BC=4$\sqrt{5}$，D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D不重合時(shí)，以EP、ED為鄰邊作平行四邊形EDFP．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t≥0）（秒）．
（1）線段AB的長(zhǎng)為10．
（2）當(dāng)∠DPF=∠PFD時(shí)，求t的值．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，設(shè)平行四邊形EDFP與△ABC重疊部分圖形的面積為y（平方單位），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）連結(jié)AF，當(dāng)△AFD的面積與△PDE的面積相等時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)；
（2）如圖1，證明PE∥DB，由CE=EB，根據(jù)中位線的推論可得：PC=PD=$\frac{5}{2}$，則t=$\frac{5}{2}$；
（3）分兩種情況：
①當(dāng)0≤t≤$\frac{5}{2}$時(shí)，如圖2，平行四邊形EDFP與△ABC重疊部分圖形的面積為平行四邊形EDFP的面積，作PM⊥DE于點(diǎn)M，根據(jù)平行四邊形的面積公式可得結(jié)論；
②當(dāng)$\frac{5}{2}$＜t＜5時(shí)，如圖3，同理得PH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5-t），根據(jù)y=S_△PHD+S_△PDE代入可得關(guān)系式；
（4）①當(dāng)t=0時(shí)，△AFD的面積與△PDE的面積相等；
②如圖4，當(dāng)A、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，根據(jù)等底等高的兩個(gè)三角形相等得：△AFD的面積與△PDE的面積相等，根據(jù)三角形的中位線得出t的值．

解答 解：（1）△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=2$\sqrt{5}$，BC=4$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+（4\sqrt{5}）^{2}}$=10；
故答案為：10；

（2）如圖1中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴FP∥DE，PE∥DF，
∴∠DPF=∠PDE，
∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=DB=DA=5，
∵CE=EB，
∴DE⊥BC，∠CDE=∠EDB，
∵∠DPF=∠PFD，
∴∠PED=∠BDE，
∴PE∥DB，
∵CE=EB，
∴PC=PD=$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{5}{2}$；

（3）①當(dāng)0≤t≤$\frac{5}{2}$時(shí)，如圖2，作PM⊥DE于點(diǎn)M，
由題意得：PC=t，則DP=5-t，
∵PM∥CE，
∴$\frac{PM}{CE}=\frac{DP}{DC}$，
∴$\frac{PM}{2\sqrt{5}}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴PM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5-t），
∴y=DE•PM=$\sqrt{5}$$•\frac{2\sqrt{5}}{5}（5-t）$=-2t+10，
②當(dāng)$\frac{5}{2}$＜t＜5時(shí)，如圖3，
∵PH∥AC，
∴$\frac{PH}{AC}=\frac{DP}{CD}$，
∴$\frac{PH}{2\sqrt{5}}=\frac{5-t}{5}$，
∴PH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5-t），
∴y=S_△PHD+S_△PDE=$\frac{1}{2}$PH•PM+$\frac{1}{2}$（-2t+10）=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5-t）•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（5-t）-t+5=$\frac{2}{5}{t}^{2}$-5t+15，
綜上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{-2t+10（0≤t≤\frac{5}{2}）}\\{\frac{2}{5}{t}^{2}-5t+15（\frac{5}{2}＜t＜5）}\end{array}\right.$；

（4）①當(dāng)t=0時(shí)，△AFD的面積與△PDE的面積相等，
②如圖4，當(dāng)A、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，
∵AE∥DF，
∴S_△ADF=S_△PDF=S_△PED，
∵DE∥AC，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{PD}{PC}=\frac{1}{2}$，
∴PC=$\frac{2}{3}$CD=$\frac{10}{3}$，
∴t=$\frac{10}{3}$，
∴當(dāng)t=0或t=$\frac{10}{3}$時(shí)，△AFD的面積與△PDE的面積相等．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題及重疊部分圖形的面積問題，有難度，本題還采用了分類討論的思想，在計(jì)算重疊部分圖形時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合解決問題，對(duì)于第四問，熟練掌握等底等高的兩個(gè)三角形相等是關(guān)鍵．