Question

6．如圖，直線L：y=-$\frac{1}{2}$x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，在y軸上有一點(diǎn)N（0，4），動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度勻速沿x軸向左移動(dòng)．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)：（4，0）；點(diǎn)B的坐標(biāo)：（0，2）；
（2）求△NOM的面積S與M的移動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在y軸右邊，當(dāng)t為何值時(shí)，△NOM≌△AOB，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)G是線段ON上一點(diǎn)，連結(jié)MG，△MGN沿MG折疊，點(diǎn)N恰好落在x軸上的點(diǎn)H處，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）在y=-$\frac{1}{2}$x+2中，令別令y=0和x=0，則可求得A、B的坐標(biāo)；
（2）利用t可表示出OM，則可表示出S，注意分M在y軸右側(cè)和左側(cè)兩種情況；
（3）由全等三角形的性質(zhì)可得OM=OB=2，則可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）由折疊的性質(zhì)可知MG平分∠OMN，利用角平分線的性質(zhì)定理可得到$\frac{OG}{NG}$=$\frac{OM}{MN}$，則可求得OG的長，可求得G點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{1}{2}$x+2中，令y=0可求得x=4，令x=0可求得y=2，
∴A（4，0），B（0，2），
故答案為：（4，0）；（0，2）；
（2）由題題意可知AM=t，
①當(dāng)點(diǎn)M在y軸右邊時(shí)，OM=OA-AM=4-t，
∵N（0，4），
∴ON=4，
∴S=$\frac{1}{2}$OM•ON=$\frac{1}{2}$×4×（4-t）=8-2t；
②當(dāng)點(diǎn)M在y軸左邊時(shí)，則OM=AM-OA=t-4，
∴S=$\frac{1}{2}$×4×（t-4）=2t-8；
（3）∵△NOM≌△AOB，
∴MO=OB=2，
∴M（2，0）；
（4）∵OM=2，ON=4，
∴MN=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△MGN沿MG折疊，
∴∠NMG=∠OMG，
∴$\frac{OG}{NG}$=$\frac{OM}{MN}$，且NG=ON-OG，
∴$\frac{OG}{4-OG}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，解得OG=$\sqrt{5}$-1，
∴G（0，$\sqrt{5}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、三角形的面積、全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中注意求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的方法，在（2）中注意分兩種情況，在（3）中注意全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，在（4）中利用角平分線的性質(zhì)定理求得關(guān)于OG的等式是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)，但難度不大．