Question

13．在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，點M為BC邊上一動點（點M與點B、C不重合），連接AM，過點M作MN⊥AM，垂足為M，MN交CD或CD的延長線于點N．
（1）求證：△CMN∽△BAM；
（2）設BM=x，CN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．當x取何值時，y有最大值，并求出y的最大值；
（3）當點M在BC上運動時，求使得下列兩個條件都成立的b的取值范圍：①點N始終在線段CD上，②點M在某一位置時，點N恰好與點D重合．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是矩形可得∠B=∠C=90°，要證△CMN∽△BAM，只需證∠BAM=∠CMN即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，由△CMN∽△BAM即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)解析式，然后只需運用配方法就可求出y的最大值；
（3）由點M在BC上運動（點M與點B、C不重合），可得0＜x＜b，要滿足條件①，應保證當0＜x＜b時，y≤a恒成立，要滿足條件②，需存在一個x，使得y=a，綜合條件①和②，當0＜x＜b時y最大值應為a，然后結(jié)合（2）中的結(jié)論，就可解決問題．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAM+∠AMB=90°．
∵MN⊥AM，即∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴△CMN∽△BAM；

（2）∵△CMN∽△BAM，
∴$\frac{CM}{BA}$=$\frac{CN}{BM}$．
∵BM=x，CN=y，AB=a，BC=AD=b，
∴$\frac{b-x}{a}$=$\frac{y}{x}$，
∴y=$\frac{1}{a}$（bx-x²）=-$\frac{1}{a}$（x²-bx）
=-$\frac{1}{a}$[（x-$\frac{2}$）²-$\frac{^{2}}{4}$]
=-$\frac{1}{a}$（x-$\frac{2}$）²+$\frac{^{2}}{4a}$．
∵-$\frac{1}{a}$＜0，
∴當x=$\frac{2}$時，y取最大值，最大值為$\frac{^{2}}{4a}$．

（3）由題可知：
當0＜x＜b時，y的最大值為a，即$\frac{^{2}}{4a}$=a，
解得：b=2a．
∴要同時滿足兩個條件，b的值為2a．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值性，運用配方法是解決第（2）小題的關(guān)鍵．需要說明的是，對于第（3）小題，要滿足條件①，只需$\frac{^{2}}{4a}$≤a即可，但$\frac{^{2}}{4a}$＜a時，不滿足條件②，故要同時滿足條件①和②，只有$\frac{^{2}}{4a}$=a時才成立．