Question

1．如圖，△ABC、△DCE、△FEG為等邊三角形，邊長分別為2、3、5，且從左至右如圖排列，連接BF，交DC、DE分別于M、N兩點，則△DMN的面積為$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 易證BE=EF=5，從而可得∠EBF=$\frac{1}{2}$∠FEG=30°，根據三角形外角的性質可得到∠DNM=90°；易證△BCM∽△BEF，根據相似三角形的性質可求出CM，從而得到DM的值，然后在Rt△DNM中，運用三角函數可求出MN、DN，就可求出△DMN的面積．

解答 解：∵△FEG為等邊三角形，∴∠FEG=60°．
∵BC=2，CE=3，EF=5，∴BE=5=EF，
∴∠EBF=∠EFB=$\frac{1}{2}$∠FEG=30°．
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠D=∠DCE=∠DEC=60°，
∴∠DNM=∠EBF+∠DEC=90°．
∵∠DCE=∠FEG=60°，
∴CM∥EF，
∴△BCM∽△BEF，
∴$\frac{CM}{EF}$=$\frac{BC}{BE}$，即$\frac{CM}{5}$=$\frac{2}{5}$，
解得CM=2，
∴DM=DC-CM=3-2=1，
∴在Rt△DNM中，
MN=DM•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
DN=DM•cos60°=$\frac{1}{2}$，
∴S_△DNM=$\frac{1}{2}$DN•MN=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、三角形外角的性質、三角函數的定義等知識，本題除了運用三角形相似求CM的值，還可以通過證明∠CBM=∠CMB=30°，得到CM=BC=2．