Question

11．已知在等腰直角三角形ABC中，E是直線BC上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE，垂足為F，連接BF．
（1）當(dāng)E在邊BC上時(shí)，如圖①易證：AF=CF+$\sqrt{2}$BF．（不需證明）；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上（如圖②）或點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上（如圖③）的位置時(shí)，分別寫出線段AF，CF和BF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖②進(jìn)行證明．

Answer 1

分析 （1）如圖①中，作BH⊥BF交AF于H．只要證明△BAH≌△BCF，即可解決問(wèn)題．
（2）①如圖②中，結(jié)論：CF-AF=$\sqrt{2}$BF．作BH⊥BF交AF于H．只要證明△BAH≌△BCF，即可解決問(wèn)題．
②如圖③中，結(jié)論：CF+AF=$\sqrt{2}$BF．只要證明△BAH≌△BCF，即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖①中，作BH⊥BF交AF于H．

∵∠ABC=∠FBH，
∴∠FBC=∠ABH，
∵∠EFC=∠EBA=90°，
∠CEF=∠AEB，
∴∠ECF=∠EAB，
在△BAH和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAH=∠BCF}\\{AB=BC}\\{∠ABH=∠FBC}\end{array}\right.$，
∴△BAH≌△BCF，
∴AH=CF，BH=BF，
∵∠FBH=90°，
∴△BFH是等腰直角三角形，
∴FH=$\sqrt{2}$BF，
∵FH=AF-AH=AF-CF，
∴AF-CF=$\sqrt{2}$BF，
∴AF=CF+$\sqrt{2}$BF．

（2）①如圖②中，結(jié)論：CF-AF=$\sqrt{2}$BF．

理由：作BH⊥BF交AF于H．
∵∠ABC=∠FBH，
∴∠FBC=∠ABH，
∵∠AFC=∠ABC=90°，
∴∠CEF+∠FCB=90°，∠AEB+∠BAH=90°
∴∠ECF=∠EAB，
在△BAH和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAH=∠BCF}\\{AB=BC}\\{∠ABH=∠FBC}\end{array}\right.$，
∴△BAH≌△BCF，
∴AH=CF，BH=BF，
∵∠FBH=90°，
∴△BFH是等腰直角三角形，
∴FH=$\sqrt{2}$BF，
∵FH=AH-AF=CF-AF，
∴CF-AF=$\sqrt{2}$BF．

②如圖③中，結(jié)論：CF+AF=$\sqrt{2}$BF．

理由：作BH⊥BF交AF于H．
∵∠ABC=∠FBH，
∴∠FBC=∠ABH，
∵∠AFC=∠ABC=90°，
∴∠BCF+∠BAF=180°，∵∠BAF+∠BAH=180°
∴∠BCF=∠BAH，
在△BAH和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAH=∠BCF}\\{AB=BC}\\{∠ABH=∠FBC}\end{array}\right.$，
∴△BAH≌△BCF，
∴AH=CF，BH=BF，
∵∠FBH=90°，
∴△BFH是等腰直角三角形，
∴FH=$\sqrt{2}$BF，
∵FH=AH+AF=CF+AF，
∴CF+AF=$\sqrt{2}$BF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．