Question

8．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線與內(nèi)角∠ABC的平分線交于點(diǎn)P，若∠BPC=41°，則∠CAP=50°．

Answer 1

分析 根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．

解答 解：延長(zhǎng)BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
設(shè)∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-40）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AP=PA}\\{PM=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP=∠PAC=50°．
故答案為：50°．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM=PN=PF是解決問題的關(guān)鍵．