Question

3．定義：把四邊形的某些邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．如圖1，四邊形ABCD為凹四邊形．
（1）性質(zhì)探究：請完成凹四邊形一個性質(zhì)的證明．
已知：如圖2，四邊形ABCD是凹四邊形
求證：∠BCD=∠B+∠A+∠D
（2）性質(zhì)應(yīng)用：
①如圖3，在凹四邊形ABCD中，∠BAD與∠BCD兩角的角平分線交于點E，
若∠ADC=140°，∠AEC=100°，求∠B的度數(shù)．
②如圖4，已知∠BOC=58°，x=∠A+∠B，y=∠C+∠D+∠E+∠F，求（x+y）的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）延長BC交AD于點M，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．
（2）①利用（2）中結(jié)論如圖3中，設(shè)∠B=x，∠ECB=∠ECD=α，∠EAD=∠EAB=β，列出方程組即可解決問題．
②根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）延長BC交AD于點M

∵∠BCD是△CDM的外角，
∴∠BCD=∠CMD+∠D，
同理∠CD是△ABM的外角，
∴∠CMD=∠A+∠B，
∴∠BCD=∠A+∠B+∠D；

（2）①如圖3中，設(shè)∠B=x，∠ECB=∠ECD=α，∠EAD=∠EAB=β．

由（2）可知，$\left\{\begin{array}{l}{140=102+α+β}\\{102=x+α+β}\end{array}\right.$，
解得x=64°
∴∠B=64°；
②如圖③，∵∠BOC=58°，
∴∠COE=122°，
∴∠A+∠C+∠E=∠COE=122°，
∴∠B+∠D+∠F=∠COE=122°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=122°+122°=244°．
故答案為：244°．

點評 本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．