Question

重慶某軟件開發(fā)公司研發(fā)了一種軟件，通過調(diào)試后，去年在沙坪壩賽博數(shù)碼廣場銷售，1月份到6月份此軟件的銷售價格y（元）與月份x（1≤x≤6，且x為整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6
銷售價格y	240	120	80	60	48	40

7月份至12月份軟件銷售價格y（元）與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系式：y=5x+30（7≤x≤12，且x為整數(shù)）．該數(shù)碼廣場此種軟件去年銷售數(shù)量z（件）與月份x（1≤x≤12，且x為整數(shù)）之間存在如下圖所示的變化趨勢．若軟件的進(jìn)價為每件20元，銷售軟件需要1位員工，該位員工每月工資2000元，為了調(diào)動該位員工的積極性，每賣出1件軟件，該位員工提成1元．

請回答下列問題：
（1）請觀察題中的表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)有關(guān)知識，直接寫出去年1月份至6月份銷售價格y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)如圖所示的變化趨勢，直接寫出z與x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求去年該數(shù)碼廣場哪個月銷售軟件的利潤最大，并求出這個最大利潤；
（3）今年數(shù)碼廣場取消了員工銷售提成，但是員工工資由每月2000元調(diào)整為每月3500元．今年軟件的進(jìn)價與去年相同，今年1月份，銷售價格比去年12月份增加10元，月銷售數(shù)量比去年12月份減少a%；今年2月份和3月份，軟件銷售價格比今年1月份增加a%，為了促銷，該商場又聘請了1位員工銷售軟件，工資也是每月3500元，但2月份和3月份每個月銷售數(shù)量與1月份持平．若該商場今年2月份和3月份銷售此種軟件的總利潤為58000元，請你參考以下數(shù)據(jù)，估算出a的整數(shù)值．（

17

≈4.1，

19

≈4.4，

21

≈4.6，

23

≈4.8）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）當(dāng)1≤x≤6，且x為整數(shù)時，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

k

x

；當(dāng)1≤x≤6，且x為整數(shù)時，設(shè)z與x之間的函數(shù)關(guān)系式為z=kx+b；當(dāng)7≤x≤12，且x為整數(shù)時，設(shè)z與x之間的函數(shù)關(guān)系式為z=k₁x+b₁，由待定系數(shù)法求出其解即可；
（2）設(shè)每個月的利潤為W元，由總利潤=每件的利潤×數(shù)量-支出費(fèi)用就可以得出W與x的關(guān)系式，分類討論求出就可以求出結(jié)論；
（3）先求出去年12月的售價和銷售量就可以求出今年1月的售價和銷量，再表示出今年1月的利潤，由今年2月份和3月份銷售此種軟件的總利潤為58000元建立方程求出其解即可．

解答：解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

k

x

，由題意，得
240=k，
∴y=

240

x

．
當(dāng)1≤x≤6，且x為整數(shù)時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為z=kx+b，由題意，得

200=k+b 1000=5k+b

，
解得：

k=200 b=0

，
z=200x．
當(dāng)7≤x≤12，且x為整數(shù)時，z與x之間的函數(shù)關(guān)系式為z=k₁x+b₁，由題意，得

1200=6k1+b1 600=12k1+b1

，
解得：

k1=-100 b1=1800

，
∴z=-100x+1800．
∴z=

200x(1≤x≤6，且x為整數(shù)) -100x+1800(7≤x≤12，且x為整數(shù))

．
（2）設(shè)每個月的利潤為W元，由題意，得
當(dāng)1≤x≤6，且x為整數(shù)時
W=（

240

x

-20-1）×200x-2000，
W=-4200x+46000．
∴k=-4200＜0，
∴W隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=1時，W_最大=41800；
當(dāng)7≤x≤12，且x為整數(shù)時，
W=（

240

x

-20-1）×（-100x+1800）-2000，
W=-500x²+8100x+142000．
∵對稱軸-

b

2a

=8.1，且7≤x≤12，
∴當(dāng)x=8時，W_最大=47000．
∵41800＜47000，
∴當(dāng)x=8時，利潤最大為47000元；
（3）由題意，得
當(dāng)x=12時，y=90，z=600，
2[（90+10）（1+a%）-20].600（1-a%）-3500×2×2=58000，
設(shè)a%=t，化簡得：5t²-t-1=0，
解得：t₁=

1+ 21

10

，t₂=

1- 21

10

（舍去），
∴a%=

1+ 21

10

．
∵

21

≈4.6，
∴a%≈0.56，
∴a≈56．
答：a的整數(shù)值約為56．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，反比例函數(shù)的運(yùn)用，分類討論的運(yùn)用，銷售問題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，二次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．