Question

20．已知二次函數(shù)y=mx²+2mx+m-4，m＜0且m為常數(shù)．
（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸都沒有交點．
（2）把該函數(shù)的圖象沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點？

Answer 1

分析 （1）求出△=16m＜0，即可得出結(jié)論；
（2）把拋物線解析式化成頂點式，求出拋物線的頂點坐標(biāo)，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵m＜0，
∴△=（2m）²-4×m×（m-4）=16m＜0，
∴m＜0，不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸都沒有交點．
（2）解：∵y=mx²+2mx+m-4=m（x+1）²-4，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（-1，-4），
∴把該函數(shù)的圖象沿y軸向上平移4個單位長度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點坐標(biāo)、拋物線平移以及判別式的運用；熟練掌握拋物線與x軸的交點的證明方法，求出拋物線的頂點坐標(biāo)是解決問題（2）的關(guān)鍵．