Question

如圖1，已知⊙O的半徑是2，C為直徑BA延長線上一點，OC=4，過C作直線CF使∠OCF=30°．
（1）求證：⊙O與直線CF相切；
（2）如圖2，設(shè)（1）中的切點為E，Q為圓周上一點，EQ交AB于D，cos∠AEQ=

3

4

，求

BD

DE

的值；
（3）如圖3，設(shè)P為線段AC上的一個動點（不與A、C重合），求證：不論P在何處，總存在弦EQ（EQ與AB交于D）使得ED•QD=AP•PC成立．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）過O作OE⊥CF于E，根據(jù)∠OCF=30°，可知OE=

AB

2

=2，再根據(jù)⊙O的半徑是2即可得出結(jié)論；
（2）連結(jié)QA、QB，根據(jù)OA=AC=2，△COE是直角三角形可得出AE的長，再由cos∠AEQ=

3

4

得出cos∠ABQ=

3

4

，AB=4，BQ=3，由相似三角形的判定定理得出△AED∽△BQD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出

BD

DE

=

QB

AE

=

3

2

；
（3）設(shè)AP=a（0＜a＜2），AD=x，則BD=4-x，令x（4-x）=a（2-a），即x²-4x+2a-a²=0，根據(jù)△=4（4-2a+a²）＞0可知方程總有解，即不論P在何處，AD×BD=AP×PC總能成立，再根據(jù)△AED∽△BQD可得出ED×QD=AD×BD，故可得出結(jié)論．

解答：解：（1）過O作OE⊥CF于E，
∵∠OCF=30°，
∴OE=

AB

2

=2
又∵⊙O的半徑是2，
∴⊙O與CF相切；

（2）連結(jié)QA、QB，
∵OA=AC=2，△COE是直角三角形，
∴AE=

OC

2

=2，
∵cos∠AEQ=

3

4

，
∴cos∠ABQ=

3

4

，AB=4，
∴BQ=3，
∵∠AED=∠DBQ，∠ADE=∠BDQ，
∴△AED∽△BQD，
∴

BD

DE

=

QB

AE

=

3

2

；

（3）設(shè)AP=a（0＜a＜2），AD=x，則BD=4-x，令x（4-x）=a（2-a），即x²-4x+2a-a²=0，
∵△=4（4-2a+a²）＞0，
∴方程總有解，即不論P在何處，AD×BD=AP×PC總能成立，
又∵△AED∽△BQD，
∴ED×QD=AD×BD，
∴不論P在何處，總存在弦EQ使得ED×QD=AP×PC成立．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、銳角三角函數(shù)的定義及圓周角定理等知識，難度適中．