Question

12．如圖，點(diǎn)P是四邊形ABCD的對(duì)角線BD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AD=BC，∠CBD=45°．∠ADB=105°，試探究EF與PF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 連接PE，由三角形中位線定理可知PF=PE，且∠EPF=120°，過點(diǎn)P作PG⊥EF，由直角三角形的性質(zhì)可求得FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PF，可求得EF=$\sqrt{3}$PF．

解答 解：EF=$\sqrt{3}$PF．證明如下：
如圖，連接PE，
∵P、E分別為BD、AB的中點(diǎn)，
∴PE∥AD，且PE=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠ADP+∠EPD=180°，
∴∠EPD=75°，
∵F、P為CD、BD中點(diǎn)，
∴PF∥BC，且PF=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠DPF=∠DBC=45°，
∵AD=BC，
∴PF=PE，且∠EPF=75°+45°=120°，
過P作PG⊥EF于點(diǎn)G，則EF=2FG，
在Rt△PFG中，由勾定理可得FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PF，
∴EF=$\sqrt{3}$PF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形中位線定理，掌握三角形中位線平行且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．