Question

11．已知：在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，四邊形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、H分別在矩形ABCD邊AB、BC、DA上，AE=2．
（1）如圖1，當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)，求△GFC的面積；
（2）如圖2，當(dāng)四邊形EFGH為菱形時(shí)，設(shè)BF=x，△GFC的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域．

Answer 1

分析 （1）只要證明△AEH≌△BFE．推出BF=AE=2，由△MGF≌△BFE，推出△MGF≌△AEH，求出FC、GM即可解決問題．
（2）如圖2，過點(diǎn)G作GM⊥BC，垂足為M，連接HF，根據(jù)S_△GFC=$\frac{1}{2}$FC•GM，計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)G作GM⊥BC，垂足為M．
由矩形ABCD可知：∠A=∠B=90°，
由正方形EFGH可知：
∠HEF=90°，EH=EF，
∴∠1+∠2=90°，
又∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
∴△AEH≌△BFE．
∴BF=AE=2，
同理可證：△MGF≌△BFE，
∴△MGF≌△AEH，
∴GM=AE=2，
又 FC=BC-BF=12-2=10，
∴S_△GFC=$\frac{1}{2}$FC•GM=$\frac{1}{2}$×10×2=10．

（2）如圖2，過點(diǎn)G作GM⊥BC，垂足為M，連接HF．
由矩形ABCD得：AD∥BC，
∴∠AHF=∠HFM，
由菱形EFGH得：EH∥FG，EH=FG，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
又∠A=∠M=90°，EH=FG，
∴△MGF≌△AEH，
∴GM=AE=2，
又 BF=x，∴FC=12-x，
∴S_△GFC=$\frac{1}{2}$FC•GM=$\frac{1}{2}$（12-x）•2=12-x，
即：S=12-x，
定義域：$0≤x≤4\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．