Question

11．已知：如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，對角線BD=4，tan∠CBD=$\frac{1}{2}$，則AB=$\sqrt{5}$，sin∠ABE=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 （1）首先連接AC，AC與BD相交于點O，由四邊形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，BO=$\frac{1}{2}$BD=2，又由tan∠CBD=$\frac{1}{2}$，可求得OC的長，然后由勾股定理求得邊AB的長；
（2）由AE⊥BC，利用S_菱形ABCD=BC•AE=$\frac{1}{2}$BD•AC，即可求得AE的長，繼而求得∠ABE的正弦值．

解答 解：（1）連接AC，AC與BD相交于點O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=$\frac{1}{2}$BD=2，
∵Rt△BOC中，tan∠CBD=$\frac{OC}{OB}$=，
∴OC=1，
∴AB=BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$；

（2）∵AE⊥BC，
∴S_菱形ABCD=BC•AE=$\frac{1}{2}$BD•AC，
∵AC=2OC=2，
∴$\sqrt{5}$AE=$\frac{1}{2}$×2×4，
∴AE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點評 此題考查了菱形的性質、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．