Question

12．如圖，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD與CE相交于點O．
（1）求證：OB=OC；
（2）若∠ABC=55°，求∠BOC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由垂直的定義得到一對直角相等，利用ASA得到三角形BOE與三角形COD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；
（2）由底角的度數(shù)，利用等腰三角形性質(zhì)求出頂角度數(shù)，利用四邊形內(nèi)角和定理得到∠A與∠DOE互補，求出∠DOE度數(shù)即為所求．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的兩條高線，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∴△BEC≌△CDB，
∴∠DBC=∠ECB，BE=CD．
在△BOE和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠COD}\\{BE=CD}\\{∠BEC=∠BDE=90°}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COD，
∴OB=OC；

（2）解：∵∠ABC=55°，AB=AC，
∴∠A=180°-2×55°=70°，
∵∠DOE+∠A=180°，
∴∠BOC=∠DOE=180°-70°=110°．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．