Question

 如圖1，在□ABCD中，AH⊥DC，垂足為H，AB＝，AD＝7，AH＝. 現(xiàn)有兩個動點(diǎn)E、F同時從點(diǎn)A出發(fā)，分別以每秒1個單位長度、每秒3個單位長度的速度沿射線AC方向勻速運(yùn)動. 在點(diǎn)E、F運(yùn)動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG與△ABC在射線AC的同側(cè)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到點(diǎn)C時，E、F兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動. 設(shè)運(yùn)轉(zhuǎn)時間為t秒.

（1）求線段AC的長；

（2）在整個運(yùn)動過程中，設(shè)等邊△EFG與△ABC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍；

（3）當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的頂點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時，如圖2，將△EFG繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一個角度. 在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，F(xiàn)的對應(yīng)點(diǎn)為F′，G的對應(yīng)點(diǎn)為G′. 設(shè)直線F′G′與射線DC、射線AC分別相交于M、N兩點(diǎn).試問：是否存在點(diǎn)M、N，使得△CMN是以∠MCN為底角的等腰三角形？若存在，請求出線段CM的長度；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）7；（2）；（3）存在，或.

【解析】

（3）存在.

如圖2，當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的頂點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時，AE=AC=7，AF=21，EF=14.

△EFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過程中，以∠MCN為底角的等腰三角形△CMN有兩種情況：

①當(dāng)∠CMN為等腰△CMN的另一底角時，如答圖1，

過點(diǎn)C作CI⊥MN于點(diǎn)I，過N作NJ⊥CM于點(diǎn)J.

在△CMI中，由勾股定理得，即，

二者聯(lián)立，解得，∴.

②當(dāng)∠CNM為等腰△CMN的另一底角時，如答圖2，

過點(diǎn)C作CI⊥MN于點(diǎn)I，過N作NJ⊥CM于點(diǎn)J.

在等邊△CG′I中，易得.

考點(diǎn)：1.雙動點(diǎn)和面動旋轉(zhuǎn)問題；2.勾股定理；3. 線段垂直平分線的性質(zhì)；4.等邊、腰三角形的性質(zhì)；5.由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式；6. 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；7.相似三角形的判定和性質(zhì)；8. 等腰三角形存在性問題；9.分類思想的應(yīng)用.