Question

16．如圖，已知等腰△ABC，AC=BC=10．AB=12，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）求DF的長．

Answer 1

分析 （1）求證直線EF是⊙O的切線，只要連接OD證明OD⊥EF即可；
（2）由BC是⊙O直徑，得到CD⊥AB，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=$\sqrt{{10}^{2}{-6}^{2}}$=8，由于EF⊥AC，CD⊥AB，得出∠AFD=∠CDB=90°，推出△ADF∽△BCD，得到比例式，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接CD，OD，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠BDO，
∴∠A=∠BDO，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∵OD為半徑，
∴EF是⊙O的切線；                                

（2）解：∵BC是⊙O直徑，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC=10，又AB=12，
∴AD=BD=6，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=$\sqrt{{10}^{2}{-6}^{2}}$=8，
∵EF⊥AC，CD⊥AB，
∴∠AFD=∠CDB=90°，
又∵∠A=∠CBD，
∴△ADF∽△BCD，
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{DF}{CD}$，
∴$\frac{6}{10}=\frac{DF}{8}$，即DF=$\frac{24}{5}$．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定、余角的概念與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵在于運用數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合相關(guān)性質(zhì)定理，正確的做出輔助線是解題的關(guān)鍵．