Question

17．已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為12，點(diǎn)P為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且BD=AP，連接PD交AB于點(diǎn)E，PE⊥AB于點(diǎn)F，則線段EF的長(zhǎng)為（　　）

• A． 6
• B． 5
• C． 4.5
• D． 與AP的長(zhǎng)度有關(guān)

Answer 1

分析 作DQ⊥AB，交直線AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接DE，PQ，根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，可知四邊形PEDQ是平行四邊形，進(jìn)而可得出EF=$\frac{1}{2}$AB，由等邊△ABC的邊長(zhǎng)為12可得出DE=6．

解答 解；作DF⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠FQD=∠AEP=90°，
∴AP=BD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠DBQ=60°，
在△APE和△BQD中，
∵∠AEP=∠DBQ=90°，∴∠APE=∠BDQ，
∴在△APE和△BQD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠DQB}\\{∠A=∠BDQ}\\{AP=BD}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△BQD（AAS），
∴AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，
∴四邊形PEDQ是平行四邊形，
∴EF=$\frac{1}{2}$EQ，
∵EB+AE=BE+BQ=AB，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB，
又∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為12，
∴EF=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．