Question

9．如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)是對角線BD上兩點，DE=BF．
（1）判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形，并證明；
（2）若EF=4，DE=BF=2，求四邊形AECF的周長．

Answer 1

分析 （1）連接AC，交BD于點O．利用正方形的性質(zhì)得出AC⊥BD，OA=OC=OB=OD，進(jìn)一步得出OE=OF，證得四邊形AECF是菱形；
（2）利用菱形的性質(zhì)和勾股定理求得即可．

解答 解：（1）四邊形AECF是菱形，理由如下：
連接AC，交BD于點O，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD
∴DE=BF
∴OE=OF
∴四邊形AECF是菱形；
（2）∵EF=4，DE=BF=2，
∴AC=BD=8，
∴AE=$\sqrt{O{A}^{2}+O{E}^{2}\\;}=\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$，
∴四邊形AECF的周長為8$\sqrt{5}$．

點評 此題考查正方形的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理等知識點，注意結(jié)合已知條件合理作出輔助線解決問題．