Question

15．如圖，在?ABCD中，AB=3，BC=5，∠B=60°，G是CD的中點(diǎn)，E是邊AD上的動點(diǎn)，EG的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)F，連接CE，DF．
（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；
（2）當(dāng)AE的長為多少時，四邊形CEDF是矩形？請說明理由．
（3）當(dāng)AE的長是多少時，四邊形CEDF是菱形？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）證△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；
（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根據(jù)矩形的判定推出即可；
②求出△CDE是等邊三角形，推出CE=DE，根據(jù)菱形的判定推出即可．

解答 解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CF∥ED，
∴∠FCD=∠GCD，
又∠CGF=∠EGD．
G是CD的中點(diǎn)，
CG=DG，
在△FCG和△EDG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FCG=∠EDG}\\{CG=DG}\\{∠CGF=∠DGE}\end{array}\right.$，
∴△CFG≌△EDG（ASA），
∴FG=EG，
∵CG=DG，
∴四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）①當(dāng)AE=3.5時，平行四邊形CEDF是矩形，

理由是：過A作AM⊥BC于M，
∵∠B=60°，AB=3，
∴BM=1.5，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，
∵AE=3.5，
∴DE=1.5=BM，
在△MBA和△EDC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BM=DE}\\{∠B=∠CDA}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED=∠AMB=90°，
∵四邊形CEDF是平行四邊形，
∴四邊形CEDF是矩形；
②當(dāng)AE=2時，四邊形CEDF是菱形，
理由是：∵AD=5，AE=2，
∴DE=3，
∵CD=3，∠CDE=60°，
∴△CDE是等邊三角形，
∴CE=DE，
∵四邊形CEDF是平行四邊形，
∴四邊形CEDF是菱形．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，矩形的判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．