Question

6．發(fā)現(xiàn)：
（1）若干平面上三點(diǎn)能夠確定一個(gè)圓，那么這三點(diǎn)所滿足的條件是三點(diǎn)不在同一條直線上．
（2）我們判斷四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D（任意其中個(gè)三點(diǎn)不共線）是否在同一圓上時(shí)，一般地，先作過A，B，C三點(diǎn)的圓，然后判斷點(diǎn)D是否在這個(gè)圓上，如果在，則這四個(gè)點(diǎn)共圓，如果不在，則不存在同時(shí)過這四個(gè)點(diǎn)的圓．
思考：
（1）如圖1，∠ACB=∠ADB=90°，那么點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在（填“在”或“不在”）同一個(gè)圓上；
（2）如圖2，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°），（點(diǎn)C，D在AB的同側(cè)），那么點(diǎn)D還在經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓上嗎？芳芳已經(jīng)證明了點(diǎn)D不在圓內(nèi)（如圖所示），只要能夠證明點(diǎn)D也不再圓外，就可以判斷點(diǎn)D一定在圓上了，請你完成證明過程．
芳芳的證明過程：
如圖3，過A，B，C三點(diǎn)作圓，圓心為O．假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，設(shè)AD的延長線交⊙O于點(diǎn)P，連接BP．易得∠APB=∠ACB．又由∠ADB是△BPD的外交，得到∠ADB＞∠APB，因此∠ADB＞∠ACB，這個(gè)結(jié)論與條件中的∠ACB=∠ADB矛盾，所以點(diǎn)D不在圓內(nèi)．
應(yīng)用：
如圖4，在四邊形ABCD中，連接AC，BD，∠CAD=∠CBD=90°，點(diǎn)P在CA的延長線上，連接DP．若∠ADP=∠ABD．求證：DP為Rt△ACD的外接圓的切線．

Answer 1

分析 發(fā)現(xiàn)：（1）根據(jù)不在同一條直線上的三點(diǎn)能夠確定一個(gè)圓即可得到結(jié)論；
思考：（1）根據(jù)∠ACB=∠ADB=90°，即可得到結(jié)論；
（2）如圖①，假設(shè)點(diǎn)D在⊙O外，設(shè)AD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，根據(jù)圓周角定理得到∠AEB=∠ACB，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠AEB＞∠D于是得到這個(gè)結(jié)論與條件中的∠ACB=ADB矛盾，即可得到結(jié)論；
應(yīng)用：由∠CAD=∠CBD=90°，推出A，B，C，D四點(diǎn)在以CD為直徑的同一個(gè)圓上，根據(jù)圓周角定理得到∠ACD=∠ABD，推出∠ACD=∠ADP，由于∠ACD+∠ADC=90°，等量代換得到∠ADC+∠ADP=90°，即可得到結(jié)論．

解答 解：發(fā)現(xiàn)：（1）若平面上三點(diǎn)能夠確定一個(gè)圓，那么這三點(diǎn)所滿足的條件是三點(diǎn)不在同一條直線上，
故答案為：三點(diǎn)不在同一條直線上；

思考：（1）∠ACB=∠ADB=90°，那么點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，
故答案為：在；
（2）如圖①，假設(shè)點(diǎn)D在⊙O外，設(shè)AD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，易得∠AEB=∠ACB，又由∠AEB是△BED的外角，∴∠AEB＞∠D，∵∠ACB=∠AEB，∴∠ACB＞∠ADB，這個(gè)結(jié)論與條件中的∠ACB=∠ADB矛盾，∴點(diǎn)D不在圓外，
∴D一定在圓上；

應(yīng)用：∵∠CAD=∠CBD=90°，
∴A，B，C，D四點(diǎn)在以CD為直徑的同一個(gè)圓上，
∴∠ACD=∠ABD，
∵∠ABD=∠ADP，
∴∠ACD=∠ADP，
∵∠ACD+∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠ADP=90°，
∴∠ADP=90°，
∴DP為Rt△ACD的外接圓的切線．

點(diǎn)評 本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、圓周角定理以及反證法的應(yīng)用，掌握反證法的一般步驟、同弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．