Question

6．已知等腰三角形ABC中，AB=AC，三角形的外接圓半徑OB=5cm，圓心O到BC的距離為3cm，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 此題分情況考慮：當(dāng)三角形的外心在三角形的內(nèi)部時(shí)，根據(jù)勾股定理求得BD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)；當(dāng)三角形的外心在三角形的外部時(shí)，根據(jù)勾股定理求得BD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)．

解答 解：如圖1，當(dāng)三角形的外心在三角形的內(nèi)部時(shí)，

連接AO并延長(zhǎng)到BC于點(diǎn)D，
∵AB=AC，O為外心，
∴AD⊥BC，
在直角三角形BOD中，根據(jù)勾股定理，得BD=4，
在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理，得AB=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$（cm）；
當(dāng)三角形的外心在三角形的外部時(shí)，如圖2，
在直角三角形BOD中，根據(jù)勾股定理，得BD=4，
在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理，得AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$（cm）．
即AB的長(zhǎng)是4$\sqrt{5}$cm或2$\sqrt{5}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理的運(yùn)用，能求出符合條件的所有情況時(shí)解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的外心可能在三角形的外部，可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的一邊上，即直角三角形的外心在其斜邊的中點(diǎn)．