Question

2．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，DA上．若EF⊥HG于點(diǎn)O，HF∥GE，BE=EC=4，EO=2FO，圖中陰影部分的面積$\frac{170}{9}$．

Answer 1

分析 易得△AHF∽△CGE，所以$\frac{AF}{CE}$=$\frac{FH}{EG}$=$\frac{FO}{OE}$，由EC=2得AF=1，過F作FP⊥BC于P，根據(jù)勾股定理得EF=2$\sqrt{17}$，因?yàn)镕H∥EG，所以$\frac{FO}{OE}$=$\frac{HO}{HG}$，知EF=GH，所以FO=HO，再求得△FOH與三角形△的面積相加即可．

解答 解：將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF．
將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．

∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
在△ABM與△DAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BAM=∠ADN}\\{AB=DA}\\{∠ABM=∠DAN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DAN（ASA），
則AM=DN，
∴EF=GH；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD
∴∠AHO=∠CGO
∵FH∥EG
∴∠FHO=∠EGO
∴∠AHF=∠CGE
∴△AHF∽△CGE
∴$\frac{AF}{CE}$=$\frac{FH}{EG}$=$\frac{FO}{OE}$，
∵EC=4
∴AF=2
過F作FP⊥BC于P，

根據(jù)勾股定理得EF=2$\sqrt{17}$，
∵FH∥EG，
∴$\frac{FO}{OE}$=$\frac{HO}{HG}$，
∵EF=GH，
∴FO=HO．
∴S_△FOH=$\frac{1}{2}$FO²=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$EF）²，S_△EOG=$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{3}$EF）²，
∴陰影部分面積為$\frac{170}{9}$．
故答案是：$\frac{170}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的綜合知識(shí)．用到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等綜合性較強(qiáng)，難度較大．