Question

12．已知：點(diǎn)D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接AD．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．求證：BD=CE，BD⊥CE．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，探究AD、BD、CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并說明理由；（3）若BD=$\sqrt{3}$CD，直接寫出∠BAD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得AD=AE，∠DAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAE，然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CEF全等，從而得證；
（2）將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．與（1）同理可得CE=BD，CE⊥BD，根據(jù)勾股定理即可求得2AD²=BD²+CD²；
（3）分兩種情況分別討論即可求得．

解答 （1）證明：如圖1，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴BD⊥CE；
（2）2AD²=BD²+CD²，
理由：如圖2，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE、DE．
與（1）同理可證CE=BD，CE⊥BD，
∵∠EAD=90°AE=AD，
∴ED=$\sqrt{2}$AD，
在RT△ECD中，ED²=CE²+CD²，
∴2AD²=BD²+CD²．
（3）如圖3，①當(dāng)D在BC邊上時(shí)，將線段AD₁繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接BE，
與（1）同理可證△ABE≌△ACD₁，
∴BE=CD₁，BE⊥BC，
∵BD=$\sqrt{3}$CD，
∴BD₁=$\sqrt{3}$BE，
∴tan∠BD₁E=$\frac{BE}{B{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BD₁E=30°，
∵∠EAD₁=∠EBD₁=90°，
∴四邊形A、D₁、B、E四點(diǎn)共圓，
∴∠EAB=∠BD₁E=30°，
∴∠BAD₁=90°-30°=60°；
②當(dāng)D在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接CF．
同理可證：∠CFD₂=30°，
∵∠FAD₂=∠FCD₂=90°，
∴四邊形A、F、D₂、C四點(diǎn)共圓，
∴∠CAD₂=∠CFD₂=30°，
∴∠BAD₂=90°+30°=120°，
綜上，∠BAD的度數(shù)為60°或120°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的判定，圓周角定理等，通過旋轉(zhuǎn)得出全等三角形是本題的關(guān)鍵．