Question

15．如圖，某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上修建一個(gè)矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成．若設(shè)花園的寬為x（m），花園的面積為y （m²）．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系y=-2x²+40x，并寫出自變量的取值范圍是12.5≤x＜20；
（2）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)關(guān)系式，描述其圖象的變化趨勢；并結(jié)合題意判斷當(dāng)x取何值時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)，由花園的AB邊長為x（m），可得=40-2x，然后根據(jù)矩形面積的求解方法，即可求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，又由墻長15m，即可求得自變量的x的范圍．
（2）根據(jù)（1）中的二次函數(shù)的增減性，即可求得最大面積．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵AB=xm，AB+BC+CD=40m，
∴AB=40-2x，
∴花園的面積為：y=x•（40-2x）=-2x²+40x（12.5≤x＜20）；
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+20x（12.5≤x＜20）；

（2）∵y=-2x²+40x=-2（x-10）²+200，
∵a=-2＜0，
∵12.5≤x＜20時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=12.5時(shí)，y最大，最大值y=187.5m²．
∴當(dāng)x取12.5時(shí)花園的面積最大，最大面積為187.5m²．

點(diǎn)評 此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，利用長方形的面積建立函數(shù)解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．