Question

7．在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∠MCN=45°
（1）當(dāng)點(diǎn)M、N在AB上時(shí)，求證：MN²=AM²+BN²；
（2）將∠MCN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在BA的延長線上時(shí)，若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）作AF⊥AB，使AF=BE，連接DF，根據(jù)SAS證得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代換即可解答；
（2）作AF⊥AB，使AF=BE，連接DF，根據(jù)SAS證得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代換即可解答．

解答 （1）證明：如圖，

過點(diǎn)A作AF⊥AB，使AF=BN，連接DF，CF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBN（SAS），
∴CF=CN，
∠ACF=∠BCN，
∵∠ACB=90°，∠DCN=45°，
∴∠ACM+∠BCN=∠ACB-∠MCN=90°-45°=45°，
∵∠ACF=∠BCN，
∴∠ACM+∠ACF=45°，
即∠MCF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
又∵CM=CM，
∴△CMF≌△CMN（SAS），
∴MF=MN，
∵AM²+AF²=MF²，
∴AM²+BM²=MN²；

（2）結(jié)論仍然成立；如圖，

證明：過點(diǎn)A作AF⊥AB，使AF=BN，連接MF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBN（SAS），
∴CF=CN，
∠ACF=∠BCN，
∵∠BCN+∠ACN=90°，
∴∠ACF+∠ACN=90°，即∠FCN=90°，
∵∠MCN=45°，
∴∠MCF=45°，
∴∠MCF=∠MCN，
又∵CM=CM，
∴△CMF≌△CMN（SAS），
∴MF=MN，
∵AM²+AF²=MF²，
∴AM²+BN²=MN²．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理及三角形全等的判定與性質(zhì)，解答時(shí)要充分分析里面的條件與問題之間的聯(lián)系．