Question

3．直角三角形ABC中，∠C=90度，CB=6，AC=8，D為CB邊上一個動點，E為AC上一點，DE∥AB，將三角形CDE沿著DE翻折得到三角形DEF，設(shè)三角形DEF和三角形ABC重合的面積為y，DC=x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域．

Answer 1

分析 分0≤x≤3和3＜x≤6兩種情況考慮，當0≤x≤3時，根據(jù)翻折變換結(jié)合三角形的面積即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；當3＜x≤6時，利用分割圖形求面積法結(jié)合三角形的面積即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：當0≤x≤3時，點F在△ABC內(nèi)（包括在邊AB上），如圖1所示，
此時△DEF和△ABC重合部分是完整的△DEF．
由翻折的性質(zhì)可知：△DEF≌△DEC．
∵DE∥AB，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CA}$，
∴CE=$\frac{CD•CA}{CB}$=$\frac{4}{3}$CD=$\frac{4}{3}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$CD•CE=$\frac{2}{3}$x²；
當3＜x≤6時，點F在△ABC外，如圖2所示．
∵DE∥AB，
∴∠CDE=∠B，∠FGH=∠FDE．
由翻折的性質(zhì)可知：∠CDE=∠FDE，
∴∠B=∠FGH=∠BGD，
∴BD=GD，
∴GF=2x-6，F(xiàn)H=$\frac{4}{3}$（2x-6），
∴y=S_△CDE-S_△FGH=$\frac{1}{2}$CD•CE-$\frac{1}{2}$GF•FH=-2x²+16x-24．
綜上所述：y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}{x}^{2}（0≤x≤3）}\\{-2{x}^{2}+16x-24（3＜x≤6）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式、三角形的面積、平行線的性質(zhì)以及翻折變換，分0≤x≤3和3＜x≤6兩種情況找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．