Question

8．已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，以 P（1，1）為圓心的⊙P與x軸，y軸分別相切于點M和點N，點F從點M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，連接PF，過點PE⊥PF交y軸于點E，設(shè)點F運動的時間是t秒（t＞0），作點F關(guān)于點M的對稱點F′，經(jīng)過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，連接QE．在點F運動過程中，是否存在某一時刻，使得以點Q、O、E為頂點的三角形與以點P、M、F為頂點的三角形相似，則t的值為$\sqrt{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，2±$\sqrt{2}$，．

Answer 1

分析 如圖1當(dāng)1＜t＜2時，由F（1+t，0），F(xiàn)和F′關(guān)于點M對稱，得到F′（1-t，0）由經(jīng)過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，得到Q（1-$\frac{1}{2}$t），求出OQ=1-$\frac{1}{2}$t，
因為⊙P與x軸，y軸分別相切于點M和點N，求得PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，所以∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，證得△PMF≌△PNE（ASA），得到NE=MF=t，OE=t-1
當(dāng)△OEQ∽△MPF時，由$\frac{OE}{MP}$=$\frac{OQ}{MF}$，求得t=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，當(dāng)△OEQ∽△MFP時，得到$\frac{OE}{MF}$=$\frac{OQ}{MP}$，求得t=$\sqrt{2}$；
如圖2，當(dāng)t＞2時，由F（1+t，0），F(xiàn)和F′關(guān)于點M對稱，得到F′（1-t，0）由經(jīng)過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，得到Q（1-$\frac{1}{2}$t，0）
求得OQ=$\frac{1}{2}$t-1，由①得△PMF≌△PNE，得到NE=MF=t，OE=t-1當(dāng)△OEQ∽△MPF得到$\frac{OE}{MP}$=$\frac{OQ}{MF}$，$\frac{t-1}{1}$=$\frac{\frac{1}{2}t}{t}$，無解，
當(dāng)△OEQ∽△MFP時，得到$\frac{OE}{MF}$=$\frac{OQ}{MP}$，解得t=2±$\sqrt{2}$，
所以當(dāng)t=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，t=$\sqrt{2}$，t=2±$\sqrt{2}$時，使得以點Q、O、E為頂點的三角形與以點P、M、F為頂點的三角形相似．

解答 解：①如圖1當(dāng)1＜t＜2時，
∵F（1+t，0），F(xiàn)和F′關(guān)于點M對稱，
∴F′（1-t，0）
∵經(jīng)過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，
∴Q（1-$\frac{1}{2}$t，0）
∴OQ=1-$\frac{1}{2}$t，
∵⊙P與x軸，y軸分別相切于點M和點N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，
∵PE⊥PF，
∠NPE=∠MPF=90°-∠MPE，
在△PMF和△PNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NPE=∠MPF}\\{PN=PM}\\{∠PNE=∠PMF}\end{array}\right.$，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴NE=MF=t，
∴OE=t-1
當(dāng)△OEQ∽△MPF時，
∴$\frac{OE}{MP}$=$\frac{OQ}{MF}$，∴$\frac{t-1}{1}$=$\frac{1-\frac{1}{2}t}{t}$，
∴t=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，
當(dāng)△OEQ∽△MFP時，
∴$\frac{OE}{MF}$=$\frac{OQ}{MP}$，
∴$\frac{t-1}{t}$=$\frac{1-\frac{1}{2}t}{1}$，
∴t=$\sqrt{2}$；

②如圖2，當(dāng)t＞2時，
∵F（1+t，0），F(xiàn)和F′關(guān)于點M對稱，
∴F′（1-t，0）
∵經(jīng)過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，
∴Q（1-$\frac{1}{2}$t，0）
∴OQ=$\frac{1}{2}$t-1，
由①得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t，
∴OE=t-1
當(dāng)△OEQ∽△MPF
∴$\frac{OE}{MP}$=$\frac{OQ}{MF}$，
∴$\frac{t-1}{1}$=$\frac{\frac{1}{2}t}{t}$，無解，
當(dāng)△OEQ∽△MFP時，
∴$\frac{OE}{MF}$=$\frac{OQ}{MP}$，
∴$\frac{t-1}{t}$=$\frac{\frac{1}{2}t-1}{1}$，
解得，t=2±$\sqrt{2}$，
所以當(dāng)t=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，t=$\sqrt{2}$，t=2±$\sqrt{2}$時，使得以點Q、O、E為頂點的三角形與以點P、M、F為頂點的三角形相似．
故答案為：t=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，t=$\sqrt{2}$，t=2±$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，動點問題，切線的性質(zhì)，拋物線的對稱軸等知識點．