Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD平分∠ACB，若AC+BC=6，則四邊形ACBD的面積是

 

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Answer 1

考點：圓周角定理,勾股定理,等腰直角三角形

專題：計算題

分析：連接AD，如圖，根據(jù)圓周角定理，由AB是⊙O的直徑得到∠ACB=∠ADB=90°，由于弦CD平分∠ACB，則∠ACD=∠BCD=45°，根據(jù)圓周角定理得∠DAB=∠DBA=45°，于是可判斷△ADB為等腰直角三角形，則BD=

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AB，根據(jù)三角形面積公式得S_△ADB=

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AB²，即AB²=4S_△ADB，再利用完全平方公式，由AC+BC=6得AC²+BC²+2AC•BC=36，而AC²+BC²=AB²，S_△ACB=

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AC•BC，所以AB²+4S_△ACB=36，易得4S_△ADB+4S_△ACB=36，于是可計算出S_{四邊形ABCD}=9．

解答：解：連接AD，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵弦CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴△ADB為等腰直角三角形，
∴BD=

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AB，
∴S_△ADB=

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BD²=

1

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AB²，
∴AB²=4S_△ADB，
∵AC+BC=6，
∴（AC+BC）²=36，即AC²+BC²+2AC•BC=36，
而AC²+BC²=AB²，S_△ACB=

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AC•BC，
∴AB²+4S_△ACB=36，
∴4S_△ADB+4S_△ACB=36，
∴S_{四邊形ABCD}=9．
故答案為9．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)．