Question

11．如圖1，在正方形ABCD中，點E為邊BC上一點，將△ABE沿AE翻折得△AHE，延長EH交邊CD于F，連接AF．
（1）求證：∠EAF=45°；
（2）若AB=4，F(xiàn)為CD的中點，求tan∠BAE的值；
（3）如圖2，射線AE、AF分別交正方形兩個外角的平分線于M、N，連接MN，若以BM、DN、MN為三邊圍成三角形，試猜想三角形的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）由翻折性質得出∠ABE=∠AHE=90°，AB=AH，∠BAE=∠EAH，由正方形的性質得出AB=AH=AD，由HL證明Rt△AHF≌Rt△ADF，得出∠HAF=∠DAF，即可得出結論；?
（2）設BE的長x，則EF=x+2，EC=4-x，CF=2，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由三角函數(shù)的定義即可得出結果；
（3）過點A作AH⊥AN，并截取AH=AN，連接BH、HM，則∠HAN=90°，由正方形的性質得出AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，證出∠HAB=∠NAD，∠PBM=∠CDN=45°，∠ADN=135°，由SAS證明△ABH≌△ADN，得出BH=DN，AH=AN，∠ABH=∠ADN=135°，∠BAH=∠DAN，證出∠HBM=90°，由勾股定理得出BM²+BH²=HM²，由SAS證明△AMH≌△AMN，得出HM=MN，因此BM²+BH²=MN²，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵將△ABE沿AE翻折得△AHE，
∴∠ABE=∠AHE=90°，AB=AH，∠BAE=∠EAH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AH=AD
在Rt△AHF和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AH=AD}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），
∴∠HAF=∠DAF，
∴∠EAF=∠HAF+∠EAH=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×90°=45°；?
（2）解：∵BE=EH，HF=FD，
∵AB=4，F(xiàn)為CD的中點，
∴HF=FD=2，設BE的長x，
在Rt△CEF中，EF=x+2，EC=4-x，CF=2，
由勾股定理得：EF²=EC²+CF²，
∴（x+2）²=（4-x）²+2²，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\frac{4}{3}}{4}$=$\frac{1}{3}$；
（3）解：以BM、DN、MN為三邊圍成三角形的三角形是直角三角形．理由如下：
過點A作AH⊥AN，并截取AH=AN，連接BH、HM，如圖所示：
則∠HAN=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠PBC=∠CDQ=90°，∠HAB=∠NAD，
∵射線AE、AF分別交正方形兩個外角的平分線于M、N，
∴∠PBM=∠CDN=45°，
∴∠ADN=90°+45°=135°，
在△ABH和△ADN中，$\left\{\begin{array}{l}{AH=AN}&{\;}\\{∠HAB=∠NAD}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ADN（SAS），
∴BH=DN，AH=AN，∠ABH=∠ADN=135°，∠BAH=∠DAN，
∴∠HBP=180°-135°=45°，
∴∠HBM=45°+45°=90°，
∴BM²+BH²=HM²，
∵∠MAN=45°，∠HAM=90°，
∴∠HAM=45°=∠MAN，
在△AMH和△AMN中，$\left\{\begin{array}{l}{AH=AN}&{\;}\\{∠HAM=∠MAN}&{\;}\\{AM=AM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMH≌△AMN（SAS），
∴HM=MN，
∴BM²+BH²=MN²，
∴以BM、DN、MN為三邊圍成三角形的三角形是直角三角形．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、三角函數(shù)、勾股定理、勾股定理的逆定理等知識；本題綜合性強，難度較大，特別是（3）中，需要通過作輔助線構造三角形全等得出直角三角形，運用勾股定理和勾股定理的逆定理才能得出結論．