Question

20．如圖，BC是⊙O的弦，過⊙O上一點A作⊙O的切線AN，點M在AB上，過點M作BC的垂線交AN于點N，交直線BC于點G．
（1）如果要使AN=MN，那么BC應(yīng)滿足什么條件？
（2）如果M在AB的延長線上，那么AN、MN仍然相等嗎？

Answer 1

分析 連接NM交BC于G，根據(jù)切線性質(zhì)得出∠NAO=90°，求出∠MBO=∠MAO，根據(jù)等腰三角形判定推出即可．

解答 解：（1）BC是⊙O的半徑，理由如下：
連接OA
∵AN切⊙O于A，
∴∠NAO=90°，
∵MN⊥BC，
∴∠MGB=90°，
∵MN=AN，
∴∠NAM=∠NMA．
∴∠NAM+∠MA0=90°，∠BMG+∠MBG=90°，
∵∠NMA=∠BMG，
∴∠MBO=∠MAO，
∵OA=OB，
∴BC經(jīng)過圓心O，即BC是直徑；
（2）M在AB的延長線上，那么AN、MN仍然相等，
如圖，
∵AN切⊙O于A，
∴∠NAO=90°，
∵MN⊥BC，
∴∠MGB=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠4+∠5=90°
∵OA=OB，
∴∠1=∠3．
∵∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
∴∠2=∠5，
∴MN=NA．

點評 本題考查了切線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，