Question

18．如圖，點(diǎn)P（x，y₁）與Q（x，y₂）分別是兩個(gè)函數(shù)圖象C₁與C₂上的任一點(diǎn)．當(dāng)a≤x≤b時(shí)，有-1≤y₁-y₂≤1成立，則稱這兩個(gè)函數(shù)在a≤x≤b上是“相鄰函數(shù)”，否則稱它們在a≤x≤b上是“非相鄰函數(shù)”．例如，點(diǎn)P（x，y₁）與Q�。▁，y₂）分別是兩個(gè)函數(shù)y=3x+1與y=2x-1圖象上的任一點(diǎn)，當(dāng)-3≤x≤-1時(shí)，y₁-y₂=（3x+1）-（2x-1）=x+2，通過構(gòu)造函數(shù)y=x+2并研究它在-3≤x≤-1上的性質(zhì)，得到該函數(shù)值的范圍是-1≤y≤1，所以-1≤y₁-y₂≤1成立，因此這兩個(gè)函數(shù)在-3≤x≤-1上是“相鄰函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)y=3x+1與y=2x+2在0≤x≤2上是否為“相鄰函數(shù)”，并說明理由；
（2）若函數(shù)y=x²-x與y=x•a在0≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過構(gòu)建函數(shù)y=x-1，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得出該函數(shù)在0≤x≤2上單調(diào)遞增，分別代入x=0、x=2即可得出y的取值范圍，由此即可得出結(jié)論；
（2）由函數(shù)y=x²-x與y=x•a在0≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”，構(gòu)造函數(shù)y=x²-（a+1）x，根據(jù)拋物線的位置不同，令其最大值≤1、最小值≥-1，解關(guān)于a的不等式組即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)y=3x+1與y=2x+2在0≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”，理由如下：
點(diǎn)P（x，y₁）與Q�。▁，y₂）分別是兩個(gè)函數(shù)y=3x+1與y=2x+2圖象上的任一點(diǎn)，
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y₁-y₂=（3x+1）-（2x+2）=x-1，
通過構(gòu)造函數(shù)y=x-1并研究它在0≤x≤2上的性質(zhì)，得到該函數(shù)值的范圍是-1≤y≤1，
所以-1≤y₁-y₂≤1成立，
因此這兩個(gè)函數(shù)在0≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”．
（2）∵函數(shù)y=x²-x與y=x•a在0≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”，
∴構(gòu)造函數(shù)y=x²-（a+1）x，在0≤x≤2上-1≤y≤1．
根據(jù)拋物線y=x²-（a+1）x對稱軸的位置不同，來考慮：


①當(dāng)$\frac{a+1}{2}$≤0，即a≤-1時(shí)（圖1），
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{最小}=0+0=0}\\{{y}_{最大}=4-2（a+1）≤1}\end{array}\right.$，解得：a≥$\frac{1}{2}$，
∴此時(shí)無解；
②當(dāng)0＜$\frac{a+1}{2}$≤1，即-1＜a≤1時(shí)（圖2），
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{最小}=（\frac{a+1}{2}）^{2}-（a+1）\frac{a+1}{2}≥-1}\\{{y}_{最大}=4-2（a+1）≤1}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{2}$≤a≤1，
∴$\frac{1}{2}$≤a≤1；
③當(dāng)1＜$\frac{a+1}{2}$≤2，即1＜a≤3時(shí)（圖3），
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{最小}=（\frac{a+1}{2}）^{2}-（a+1）\frac{a+1}{2}≥-1}\\{{y}_{最大}=0+0=0}\end{array}\right.$，解得：-3≤a≤1，
∴此時(shí)無解；
④當(dāng)2＜$\frac{a+1}{2}$，即a＞3時(shí)（圖4），
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{最大}=0}\\{{y}_{最小}=4-2（a+1）≥-1}\end{array}\right.$，解得：a≤$\frac{3}{2}$，
∴此時(shí)無解．
綜上可知：若函數(shù)y=x²-x與y=x•a在0≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”，則a的取值范圍為$\frac{1}{2}$≤a≤1．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）構(gòu)建函數(shù)y=x-1，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)找出當(dāng)0≤x≤2時(shí)-1≤y≤1；（2）按拋物線的對稱軸不同結(jié)合“相鄰函數(shù)”的定義找出關(guān)于a的不等式組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)按對稱軸的位置不同來分段討論．