Question

證明

2

是無理數，你能說明

π

3

是無理數嗎？

Answer 1

考點：實數

專題：

分析：假設

2

不是無理數，所以

2

必為有理數，設

2

=

p

q

（p、q是互質的自然數），兩邊平方可得到p²=2q²，再根據p、q均為偶數和p與q互質矛盾即可得出結論．假設

π

3

是有理數，設

π

3

=x，則x為有理數，且π=3x．根據“有理數的積仍為有理數”可證到π是有理數，與“π是無理數”矛盾，從而得到

π

3

是無理數．

解答：證明：假設

2

不是無理數，所以

2

必為有理數，
設

2

=

p

q

（p、q是互質的自然數），
兩邊平方有，p²=2q²，①，
所以p一定是偶數．
設p=2m（m是自然數），
代入①得4m²=2q²，q²=2m²，
所以q也是偶數，
p、q均為偶數和p與q互質矛盾，
所以

2

不是有理數，所以

2

是無理數；
假設

π

3

是有理數，
設

π

3

=x，則x為有理數，且π=3x．
∵x和3都為有理數，
∴根據“有理數的積仍為有理數”可得：
3x是有理數，即π是有理數，
與“π是無理數”矛盾，
所以假設不成立，
故

π

3

是無理數．

點評：本題考查的是有理數與無理數的概念，解答此類題目時要注意反證法的使用．