Question

1．如圖，已知矩形ABCD中，AB=$2\sqrt{3}$，tan∠DBC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，將該矩形沿對(duì)角線BD翻折，使△DBG與△DBC在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，BG交AD與點(diǎn)E，以BE為邊作等邊三角形PEF（P點(diǎn)與B重合），點(diǎn)E、F位于AB兩側(cè)，將△PAF沿射線BD方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止平移，設(shè)平移的時(shí)間為t秒．
（1）求BD的長(zhǎng)．
（2）在平移過程中，設(shè)△PAF與△BDG的重疊部分面積為S，直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的t的取值范圍．
（3）當(dāng)平移結(jié)束后（即點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)），將△PAF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，F(xiàn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F′，直線PF′與直線BG的交點(diǎn)為M，直線F′A′與直線BG交點(diǎn)為N，在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在△F′MN是直角三角形？若存在請(qǐng)求出F′N的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB=2$\sqrt{3}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠DBC=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到；
（2）根據(jù)△BAF沿射線BD方向的平移分情況進(jìn)行求解，同時(shí)根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行分析解答；
（3）分類討論，分別以M和N為直角頂點(diǎn)計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2$\sqrt{3}$，
∵tan∠DBC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DBC=30°，
∴BD=2CD=4$\sqrt{3}$；

（2）①當(dāng)0＜t≤$\sqrt{3}$時(shí)，△BAF沿射線BD方向的平移圖如圖1，

∴HQ=HP=BPtan30°=$\frac{2\sqrt{3}t}{3}$，
∴S=S_△HQP=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$•HQ²×3=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²；
②當(dāng)$\sqrt{3}$＜t≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$時(shí)，△BAF沿射線BD方向的平移圖如圖2，


∴S_△BAP=$\frac{1}{2}$•BP²×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$BP²，
S_△QPD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$PD²，
S_△BGD=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
∴S=S_△BGD-S_△BHP-S_△QPD=-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$t²+12t-6$\sqrt{3}$；
③當(dāng)$\frac{3\sqrt{3}}{2}$＜t≤2$\sqrt{3}$時(shí)，△BAF沿射線BD方向的平移圖如圖3，

∴S_△HPQ=$\frac{1}{2}$PD²×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PD²，
∴S=S_△HPQ-S_△QPD=$\sqrt{3}$t²-12t+12$\sqrt{3}$；
（3）存在，
①如圖4，當(dāng)以N為直角頂點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)′N=2$\sqrt{3}$±2；



②如圖5，當(dāng)以M（G）為直角頂點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)′M=4±2$\sqrt{3}$，
∴F′N=2F′M=8±4$\sqrt{3}$，
綜上所述：F′N=2$\sqrt{3}$±2或F′N=8±4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了幾何變換問題，矩形的性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，關(guān)鍵是全等三角形的判定和性質(zhì)，同時(shí)注意平移的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)．