Question

15．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊BC上一點(diǎn)（異于點(diǎn)B、C），AM的垂直平分線分別交AB、CD、BD于E、F、K，連AK、MK．
（1）若M是BC的中點(diǎn)，且BC=4，求EF的長(zhǎng)；
（2）求證：AE=DF+BM．

Answer 1

分析 （1）作FG⊥AB于G，根據(jù)三角形全等的判定方法AAS證明△ABM≌△FGE，得出EF=AM，利用勾股定理求出AM，即可得出EF的長(zhǎng)；
（2）由矩形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得出AE=DF+BM．

解答 （1）解：作FG⊥AB于G，如圖所示：
∵AM的垂直平分線分別交AB、CD、BD于E、F、K，
∴∠ANE=90°，AN=MN，AG=DF，
在△ABM和△FGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠AEN}&{\;}\\{∠ABM=∠EGF}&{\;}\\{AB=GF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△FGE（AAS），
∴EF=AM，
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，且BC=4，
∴由勾股定理得：AM=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴EF=2$\sqrt{5}$；
（2）證明：由（1）知△ABM≌△FGE，
∴GE=BM，
∴AE=DF+BM．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)；利用數(shù)形結(jié)合根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)求線段是解決問(wèn)題關(guān)鍵．