Question

6．某公園計劃砌一個形狀如圖（1）所示的噴水池．
（1）有建議改為圖（2）所示的形狀，且外直徑不變，只是擔心原來準備好的材料不夠，請你比較兩種方案，哪一種需要的材料多（即比較哪個周長更長）？
（2）若將三個小圓改成n個小圓，結(jié)論是否成立？請說明．

Answer 1

分析 （1）設(shè)大圓的半徑為R，利用圓的周長公式得到圖（1）中兩個圓的周長為4πR；同樣設(shè)圖（2）三個小圓的半徑分別為r₁、r₂、r₃，則三個小圓的周長為2π（r₁+r₂+r₃），由于r₁+r₂+r₃=R，則三個小圓的周長=2πR，所以圖（2）中所有圓的周長為4πR，于是可判斷兩種方案需要的材料一樣多；
（2）設(shè)n個小圓的半徑分別為r₁、r₂、…，r_n，與（1）一樣可得n個小圓的周長為2π（r₁+r₂+…+r_n），而r₁+r₂+…+r_n=R，則n個小圓的周長=2πR，所以所有圓的周長為4πR，于是可判斷（1）中的結(jié)論仍然成立．

解答 解：（1）設(shè)大圓的半徑為R，則圖（1）中兩個圓的周長=2•2πR=4πR，
設(shè)圖（2）三個小圓的半徑分別為r₁、r₂、r₃，則三個小圓的周長=2πr₁+2πr₂+2πr₃=2π（r₁+r₂+r₃），
因為r₁+r₂+r₃=R，
所以三個小圓的周長=2πR，
所以圖（2）中所有圓的周長=2πR+2πR=4πR，
所以兩種方案需要的材料一樣多；
（2）將三個小圓改成n個小圓，結(jié)論成立．理由如下：
設(shè)n個小圓的半徑分別為r₁、r₂、…，r_n，則n個小圓的周長=2πr₁+2πr₂+…+2πr_n=2π（r₁+r₂+…+r_n），
因為r₁+r₂+…+r_n=R，
所以n個小圓的周長=2πR，
所以所有圓的周長=2πR+2πR=4πR，
所以兩種方案需要的材料一樣多．

點評 本題考查了圓的認識：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合，掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．