Question

【題目】閱讀下列材料：

某同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線點(diǎn)在拋物線上，求點(diǎn)到直線的距離．

如圖1，他過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)軸分別交軸于點(diǎn)交直線于點(diǎn)．他發(fā)現(xiàn)，可求出的長(zhǎng)，再利用求出的長(zhǎng)，即為點(diǎn)到直線的距離．

　　　　　

請(qǐng)回答：

（1）圖1中， ，點(diǎn)到直線的距離 ．

參考該同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題:

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為．

（2）如圖2，

①，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；

②，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求的最小值；

（3）如圖3，，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的最小值是 ．

Answer 1

【答案】（1）3，；（2）①（0，5）或（3，2）；②；（3）

【解析】

（1）由題意得：d=AB=AD=，即可求解；（2）如設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2-4m+5），則點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，-m），則由（1）知：d=MH=MN，即可求解；（3）如下圖，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2-4m+5），則點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，2m-7），由題意得：tanα=2，則d=MH=MNcosα即可求解．

（1）∵點(diǎn)A（1，t）在拋物線y=x2-4x+5上，

∴t=1-4+5=2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2）．

∵AD∥y軸交直線l于點(diǎn)D，直線l：y=-x，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-1），

∴AD=2-（-1）=3．

∵△ABD為等腰直角三角形，∠ABD=90°，

∴d=AB=AD=．

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線交直線l于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥l，交l于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2-4m+5），則點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，-m），則MN=m2-3m+5，

，

∵，

∴，

解得：M坐標(biāo)為（0，5）或（3，2）；

②，

則d的最小值；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)G，交直線l于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥l，交l于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2-4m+5），則點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，2m-7），

由題意得：tanα=2，則，

則d=MH=MN（m2-4m+5-2m+7）= [（m-3）2+3]，

故d的最小值為．