Question

14．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圓心O在△ABC內(nèi)部）經(jīng)過B、C兩點，交AB于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點F．延長CO交AB于點G，作ED∥AC交CG于點D 
（1）求證：四邊形CDEF是平行四邊形；
（2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．

Answer 1

分析 （1）連接CE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=45°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠FEO=90°，得到EF∥OD，于是得到結論；
（2）過G作GN⊥BC于N，得到△GMB是等腰直角三角形，得到MB=GM，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠FCD=∠FED，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠CGM=∠ACD，等量代換得到∠CGM=∠DEF，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到CM=2GM，于是得到結論．

解答 解：（1）連接CE，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠B=45°，
∴∠COE=2∠B=90°，
∵EF是⊙O的切線，
∴∠FEO=90°，
∴EF∥OC，
∵DE∥CF，
∴四邊形CDEF是平行四邊形；

（2）過G作GN⊥BC于N，
∴△GMB是等腰直角三角形，
∴MB=GM，
∵四邊形CDEF是平行四邊形，
∴∠FCD=∠FED，
∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°，
∴∠CGM=∠ACD，
∴∠CGM=∠DEF，
∵tan∠DEF=2，
∴tan∠CGM=$\frac{CM}{GM}$=2，
∴CM=2GM，
∴CM+BM=2GM+GM=3，
∴GM=1，
∴BG=$\sqrt{2}$GM=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．