Question

2．如圖1，⊙O的直徑AB=12，P是弦BC上一動點（與點B，C不重合），∠ABC=30°，過點P作PD⊥OP交⊙O于點D．

（1）如圖2，當PD∥AB時，求PD的長；
（2）如圖3，當$\widehat{DC}$=$\widehat{AC}$時，延長AB至點E，使BE=$\frac{1}{2}$AB，連接DE．
①求證：DE是⊙O的切線；
②求PC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意首先得出半徑長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出OP，PD的長；
（2）①首先得出△OBD是等邊三角形，進而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；
②首先求出CF的長，進而利用直角三角形的性質(zhì)得出PF的長，進而得出答案．

解答 解：（1）如圖2，連接OD，
∵OP⊥PD，PD∥AB，
∴∠POB=90°，
∵⊙O的直徑AB=12，
∴OB=OD=6，
在Rt△POB中，∠ABC=30°，
∴OP=OB•tan30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
在Rt△POD中，
PD=$\sqrt{O{D}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$；

（2）①證明：如圖3，連接OD，交CB于點F，連接BD，
∵$\widehat{DC}$=$\widehat{AC}$，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
∴∠ABD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴OD⊥FB，
∵BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴OB=BE，
∴BF∥ED，
∴∠ODE=∠OFB=90°，
∴DE是⊙O的切線；

②由①知，OD⊥BC，
∴CF=FB=OB•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
在Rt△POD中，OF=DF，
∴PF=$\frac{1}{2}$DO=3（直角三角形斜邊上的中線，等于斜邊的一半），
∴CP=CF-PF=3$\sqrt{3}$-3．

點評 此題主要考查了圓的綜合以及直角三角形的性質(zhì)和銳角三角三角函數(shù)關(guān)系，正確得出△OBD是等邊三角形是解題關(guān)鍵．