Question

12．在平面直角坐標系中，若橫坐標、縱坐標均為整數(shù)點稱為格點，若一個多邊形的頂點都是格點，則稱為格點多邊形．記格點多邊形的面積為S，其內部的格點數(shù)記為n，邊界上的格點數(shù)記為l，例如圖中△ABC是格點三角形，對應的S=1，n=0，l=4．
（1）寫出圖中格點四邊形DEFG對應的S，n，l．
（2）奧地利數(shù)學家皮克發(fā)現(xiàn)格點多邊形的面積可表示為S=n+al+b，其中a，b為常數(shù)．
①利用圖中條件求a，b的值；
②若某格點多邊形對應的n=20，l=15，求S的值；
③在圖中畫出面積等于5的格點正方形PQRS．

Answer 1

分析 （1）理解題意，觀察圖形，即可求得結論；
（2）①根據(jù)格點三角形ABC及格點四邊形DEFG中的S、n、l 的值可得關于a、b的方程組，通過解方程組來求它們的值；
②把相關數(shù)值代入①中的關系式進行解答；
③利用①中的函數(shù)關系式進行解答．

解答 解：（1）觀察圖形，可得S=3，n=1，l=6；    

（2）①根據(jù)格點三角形ABC及格點四邊形DEFG中的S、n、l 的值可得$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=1}\\{1+6a+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴S=n+$\frac{1}{2}$l-1；
②將n=20，l=15代入可得S=20+$\frac{1}{2}$×15-1=26.5．
③如圖：
    

點評 此題考查格點圖形的面積變化與多邊形內部格點數(shù)和邊界格點數(shù)的關系，從簡單情況分析，找出規(guī)律解決問題．