Question

7．問(wèn)題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．
（1）天天同學(xué)看過(guò)圖形后立即口答出：∠APC=110°，請(qǐng)你補(bǔ)全他的推理依據(jù)．
如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°．（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（等量代換）
問(wèn)題遷移：
（2）如圖3，AD∥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)填寫即可；
（2）過(guò)P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）畫出圖形（分兩種情況①點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，②點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°．（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（等量代換）
故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等量代換．
（2）∠CPD=∠α+∠β，
理由是：如圖3，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，

過(guò)P作PE∥AD交CD于E，
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠β-∠α；
當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線時(shí)，

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠α-∠β．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，難度適中．