Question

12．已知：關(guān)于x的一元二次方程x²-（2m-3）x+m²-5m+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若10＜m＜21，是否存在整數(shù)m，使方程有兩個(gè)整數(shù)根，若存在求出m的值；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知根的判別式的值大于0，據(jù)此解關(guān)于m的不等式可得答案；
（2）解方程得出方程的解為 $x=\frac{{（2m-3）±\sqrt{8m+1}}}{2}$，根據(jù)10＜m＜21，m為整數(shù)得81＜8m+1＜169，即9＜$\sqrt{8m+1}$＜13，由方程有兩個(gè)整數(shù)根知$\sqrt{8m+1}$=10或11或12，繼而得出整數(shù)m的值．

解答 解：（1）△=[-（2m-3）]²-4（m²-5m+2）=8m+1，
由8m+1＞0得$m＞-\frac{1}{8}$；

（2）存在整數(shù)m，使方程有兩個(gè)整數(shù)根，
原因：方程解為  $x=\frac{{（2m-3）±\sqrt{8m+1}}}{2}$，
∵10＜m＜21，m為整數(shù)，
∴81＜8m+1＜169 且為整數(shù)，
∴9＜$\sqrt{8m+1}$＜13，
又∵方程有兩個(gè)整數(shù)根，
∴$\sqrt{8m+1}$=10或11或12，
∴$m=\frac{99}{8}或15或\frac{11}{8}$，
∴整數(shù)m=15，
當(dāng)m=15時(shí)，x₁=19，x₂=8符合題意．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．