Question

2．如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，且BE⊥AC于點(diǎn)F，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． AF=$\frac{1}{2}$CF
• B． ∠DCF=∠DFC
• C． 圖中與△AEF相似的三角形共有4個(gè)
• D． tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，又AD∥BC，所以$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，故A正確，不符合題意；
過(guò)D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，得到CN=NF，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故B正確，不符合題意；
根據(jù)相似三角形的判定即可求解，故C正確，不符合題意；
由△BAE∽△ADC，得到CD與AD的大小關(guān)系，根據(jù)正切函數(shù)可求tan∠CAD的值，故D錯(cuò)誤，符合題意．

解答 解：A、∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，故A正確，不符合題意；
B、過(guò)D作DM∥BE交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四邊形BMDE是平行四邊形，
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，
∴∠DCF=∠DFC，故B正確，不符合題意；
C、圖中與△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5個(gè)，故C錯(cuò)誤，符合題意．
D、設(shè)AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有$\frac{a}$=$\frac{\frac{a}{2}}$．
∵tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故D正確，不符合題意．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．