Question

4．如圖所示，點(diǎn)D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)A，E是直線BC同側(cè)的兩點(diǎn)，∠B=90°，CD=AB，DE∥AB，AC⊥CE于C，求證：點(diǎn)C在線段AE的垂直平分線上．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件可以證明△ABC≌△CDE，從而可以得到CA=EC，從而可以證明結(jié)論成立．

解答 證明：∵∠B=90°，DE∥AB，
∴∠B+∠D=180°
得∠D=90°，
∵AC⊥CE，∠A+∠BCA=90°，
∴∠ACE=90°，∠BCA+∠ECD=90°，
∴∠A=∠ECD，
在△ABC和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ECD}\\{AB=CD}\\{∠B=∠D}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AC=CE，
∴點(diǎn)C在線段AE的垂直平分線上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△ABC≌△CDE．