Question

5．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形EFGH在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD所在平面上移動(dòng)，始終保持EF∥AB．線段CF的中點(diǎn)為M，DH的中點(diǎn)為N，則線段MN的長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\frac{\sqrt{17}}{2}$
• C． $\sqrt{17}$
• D． $\frac{4}{3}$$\sqrt{10}$

Answer 1

分析 連接HM并延長(zhǎng)至點(diǎn)P，使MP=MH，作PQ⊥CD于點(diǎn)Q，連接PC、FH、PD，由△FHM≌△CPM，求出PC=FH=$\sqrt{2}$，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PQ=CQ=2，再運(yùn)用勾股定理求出PD，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)定理可求出MN的長(zhǎng)．

解答 解：連接HM并延長(zhǎng)至點(diǎn)P，使MP=MH，作PQ⊥CD于點(diǎn)Q，連接PC、FH、PD，
∵M(jìn)是線段CF的中點(diǎn)，
∴MF=MC，
在△FHM和△CPM中，
$\left\{\begin{array}{l}{MF=MC}\\{∠FMH=∠CMP}\\{MP=MH}\end{array}\right.$，
∴△FHM≌△CPM，
∴FH=PC，∠HFM=∠PCM，
∵EF=EH=2，
∴FH=PC=2$\sqrt{2}$，
∵FG∥BC，
∴∠GFM=∠BCM，
∴∠HFG=∠PCB=45°，
∴∠PCQ=45°，
∴PQ=QC=2，
∴DQ=CD+CQ=8，
∴PD=2$\sqrt{17}$，
∵線段HP的中點(diǎn)為M，DH的中點(diǎn)為N，
∴MN=$\frac{1}{2}$PD=$\sqrt{17}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形中位線性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用，通過(guò)輔助線構(gòu)造全等三角形和三角形中位線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．