Question

16．如圖，已知A（a，a+1），B（a+3，a-1）是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上兩點(diǎn)，必過A、B的直線y=mx+n交x軸于點(diǎn)C．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）己知點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上，且S_△POC=S_△AOB，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)反比例函數(shù)的函數(shù)值大于一次函數(shù)的函數(shù)值時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由A（a，a+1），B（a+3，a-1）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，得方程求得a=3，于是得到A（3，4），B（6，2），列方程或方程組即可得到結(jié)論；
（2）令y=0，則-$\frac{2}{3}$x+6=0，得到OC=9，過A作AE⊥OC于E，BF⊥OC于F，由于S_△AOB=S_{四邊形AEFB}=$\frac{1}{2}$（4+2）×（6-3）=9，設(shè)P（n，$\frac{12}{n}$），于是得到S_△POC=$\frac{1}{2}$×9×$\frac{12}{n}$=9，即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)圖象知，當(dāng)0＜x＜3或x＞6時(shí)，反比例函數(shù)的函數(shù)值大于一次函數(shù)的函數(shù)值．

解答 解：（1）∵A（a，a+1），B（a+3，a-1）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴a（a+1）=（a+3）（a-1），
解得：a=3，
∴A（3，4），B（6，2），
∴k=12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{12}{x}$，
∵直線y=mx+n過A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=3m+n}\\{2=6m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{2}{3}}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+6；
（2）令y=0，則-$\frac{2}{3}$x+6=0，
∴x=9，
∴C（9，0），
∴OC=9，
過A作AE⊥OC于E，BF⊥OC于F，
∴S_△AOB=S_{四邊形AEFB}=$\frac{1}{2}$（4+2）×（6-3）=9，
設(shè)P（n，$\frac{12}{n}$），
∴S_△POC=$\frac{1}{2}$×9×|$\frac{12}{n}$|=9，
∴n=±6，
∴P（6，2）或（-6，-2）；

（3）根據(jù)圖象知，當(dāng)0＜x＜3或x＞6時(shí)，反比例函數(shù)的函數(shù)值大于一次函數(shù)的函數(shù)值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積計(jì)算，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．