Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處，折痕為EF（點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上）．若△CEF與△ABC相似．
（1）當(dāng)AC=BC=2時(shí)，求AD的長；
（2）當(dāng)AC=3，BC=4時(shí)，求AD的長．

Answer 1

分析 若△CEF與△ABC相似．
（1）當(dāng)AC=BC=2時(shí)，△ABC為等腰直角三角形；
（2）當(dāng)AC=3，BC=4時(shí)，分兩種情況：
a．若CE：CF=3：4，如答圖2所示，此時(shí)EF∥AB，CD為AB邊上的高；
b．若CF：CE=3：4，如答圖3所示．由相似三角形角之間的關(guān)系，可以推出∠A=∠ECD與∠B=∠FCD，從而得到CD=AD=BD，即D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)．

解答 解：（1）若△CEF與△ABC相似．
當(dāng)AC=BC=2時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，如答圖1所示．

此時(shí)D為AB邊中點(diǎn)，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{2}$；
（2）當(dāng)AC=3，BC=4時(shí)，有兩種情況：
a．若CE：CF=3：4，如答圖2所示．

∵CE：CF=AC：BC，
∴EF∥AB，
由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此時(shí)CD為AB邊上的高．
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴cosA=$\frac{3}{5}$．
AD=AC•cosA=3×$\frac{3}{5}$=1.8；
b．若CF：CE=3：4，如答圖3所示．

∵△CEF∽△CBA，
∴∠CEF=∠B．
由折疊性質(zhì)可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴此時(shí)AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×5=2.5．
綜上所述，當(dāng)AC=3，BC=4時(shí)，AD的長為1.8或2.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何圖形折疊問題和相似三角形的判定與性質(zhì)．第（2）問需要分兩種情況分別計(jì)算，此處容易漏解，需要引起注意．