Question

2．如圖（1），已知點C為線段AB上一點，△ACM、△BCN都是等邊三角形．
（1）求證：AN=BM；
（2）若把原題中“△ACM和△BCN是兩個等邊三角形”換成兩個正方形（如圖（2）所示），AN與BM的關(guān)系如何？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)得：AC=MC，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，證明△ACN≌△MCB，可以得出結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ACN≌△MCB，可以得結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，∵△ACM、△BCN都是等邊三角形，
∴AC=MC，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，
即∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=CM}\\{∠ACN=∠MCB}\\{CN=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM；
（2）AN=BM，理由是：
如圖2，∵四邊形ACMF和四邊形CBEN都是正方形，
∴AC=CM，BC=NC，∠ACN=∠BCM=90°，
在△ACN和△MCB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=CM}\\{∠ACN=∠MCB}\\{NC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．