Question

8．如圖：AB=BC=2，∠ABC=90°，EC=EF，∠FEC=90°，直線BE與AF交于點(diǎn)H，在△CEF繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，線段BH的最大值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 當(dāng)AF∥BC時，線段BH的值最大，根據(jù)等腰直角三角形斜邊與一直角邊的比是$\sqrt{2}$，先證明△ACF∽△BCE，得∠EBC=∠CAF=45°，從而得出△BAH是等腰直角三角形，利用勾股定理計(jì)算BH=2$\sqrt{2}$．

解答 解：如圖所示，當(dāng)AF∥BC時，線段BH的值最大，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{2}$，
∵AF∥BC，
∴∠FAB=∠ABC=90°，∠CAF=∠ACB=45°，
∵△EFC是等腰直角三角形，
∴$\frac{FC}{EC}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{FC}{EC}$，
∵∠ACB=∠ECF=45°，
∴∠BCE=∠ACF，
∴△ACF∽△BCE，
∴∠EBC=∠CAF=45°，
∵AF∥BC
∴∠AHB=∠EBC=45°
∴∠BAH=90°，即△BAH是等腰直角三角形，
∴AH=AB=2，
∴BH=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，也是旋轉(zhuǎn)變換問題；做好本題的關(guān)鍵有兩個：①找出BH為最大值的位置，②證明兩個三角形相似；同時要明確一個問題：等腰直角三角形斜邊與直角邊的倍數(shù)關(guān)系：斜邊=$\sqrt{2}$×直角邊，可以利用此結(jié)論求邊，也可以利用它得出邊的比相等，從而證明相似．