Question

6．在一條公路的同側(cè)有兩個(gè)村莊A，B，若在公路上建一個(gè)加油站P，使得加油站到兩個(gè)村莊的距離之和最小，即PA+PB最�。�設(shè)公路為x軸，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，5）．
（1）求PA+PB的值；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，連接A′B交x軸于P，此時(shí)PA+PB最小，過點(diǎn)B作BC⊥OA，在直角三角形BCA′中利用勾股定理求出A′B的長即可；
（2）用待定系數(shù)法求出直線A′B的解析式，然后求出直線與x軸的交點(diǎn)即可．

解答 解：作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，
連接A′B交x軸于P，
則點(diǎn)P就是使得加油站到兩個(gè)村莊的距離之和最小，即PA+PB最小的點(diǎn)，
A′B的長度即為PA+PB的最小值，
過點(diǎn)B作BC⊥OA，
∵點(diǎn)B（6，5），
∴CO=5，BC=6，
∴CA′=8，
∴A′B=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10；
即PA+PB的最小值=10；

（2）∵A（0，3），
∴點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（0，-3），
∵A′（0，-3），B（6，5），
設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{5=6k+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
∴直線A′B的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-3，
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{9}{4}$
∴P（$\frac{9}{4}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題以及勾股定理的運(yùn)用，熟知“兩點(diǎn)之間線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．