Question

13．直線y=-$\frac{n}{n+1}$x+$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$（n為正整數(shù)）與坐標軸圍成的三角形面積為S_n，則S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 令x=0，y=0分別求出與y軸、x軸的交點，然后利用三角形面積公式列式表示出S_n，再利用拆項法整理求解即可．

解答 解：令x=0，則y=$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$，
令y=0，則-$\frac{n}{n+1}$x+$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$=0，
解得x=$\frac{\sqrt{2}}{n}$，
所以，S_n=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{n+1}×\frac{\sqrt{2}}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$•
所以，S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₅=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2015}×\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故答案為：$\frac{2015}{2016}$．

點評 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，表示出S_n，再利用拆項法寫成兩個數(shù)的差是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．